標籤: mathematics

然後利用:
a ≡ b (mod m) 則 ac ≡ bc (mod m) 這個式子(注意反之不然), 得
70 ≡ 1 (mod 3) … (a)
21 ≡ 1 (mod 5) … (b)
15 ≡ 1 (mod 7) … (c)
因為要除以 3餘 2, 所以 (a) x 2:
70 x 2 ≡ 1 x 2 (mod 3) … (d)
因為要除以 5餘 3, 所以 (b) x 3:
21 x 3 ≡ 1 x 3 (mod 5) … (e)
因為要除以 7餘 2, 所以 (c) x 2:
15 x 2 ≡ 1 x 2 (mod 7) … (f)

再利用:
a ≡ b (mod m) 則 a + c ≡ (b + c) (mode m) 這個式子,
並綜合以上 (d), (e), (f) 得該數應為
x ≡ (70 x 2 + 21 x3 + 15 x 2)(mod 105)

所以最小的某數應為 23, (即 70×2 + 21×3 + 15×2 – 105×2 = 23)

標籤 congruence, mathematics, remainder

WebTrend

神奇的線上數學解題II-WolframAlpha

之前介紹過一款: http://diary.tw/archives/720

這次這個 wolframalpha 更好用, 更有趣, 網址如下:

http://www.wolframalpha.com/

基本上, 輸入後, 會有美美的求解結果, 很有意思, 而且很實用, 例如以下方程式:

3x+y=4
4x-y=3

輸入 wolframalpha 後得:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%2By%3D4%2C+4x-y%3D3

畫面如下:

不僅僅是把解求出來, 還有一步一步的算式, 以及對應的方程式圖, 再來試看看其他的:

3x^3+2x^2-7x+2=0

解答如下: http://www.wolframalpha.com/input/?i=3x^3%2B2x^2-7x%2B2%3D0

真的是太好用了呢!

另外像是語意分析的查詢也很有用:

3 months ago:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=3+months+ago

真是一堆應用啊, 其實這就是大名鼎鼎的 siri 後面用的查詢引擎呢, 很強大!

突然想到, 在唸書時有用到一套軟體叫 Mathematica, 就是這家公司 Wolfram 出品的呢: http://www.wolfram.com/mathematica/

標籤 mathematics, search, wolfram alpha

好用軟體

方便好用的線上函數繪圖-graphr.org

這個網站(http://graphr.org/)利用了 html5 的 canvas 特性, 製作了一個方便的函數繪圖功能, 也將一些常用的尋解功能放在上面, 例如二元一次方程式如下:

y=x-1
y=3x-4

把資料輸入後(預設只有一個方程式, 按下[Evaluate]旁的[+]可以再多添加一個方程式), 點 [Evaluate] 後, 會把函數圖繪製出來, 再按下 [Intersect] 鈕, 把滑鼠移到交叉點附近後, 就會出現交點的解, 如下圖:

如此一來便能方便地利用圖示函數應用來解一些方程式. 上圖找出 (x, y)=(1.5, 0.5)為解.

再來看看3次函數的局部最大/最小值, 例如以下三次方程式:

y=x^3-3x^2+2

一樣的方式先輸入後, 按下 [Evaluate] 繪出圖形後, 再利用 [Local Minima/Maxima] 鈕, 找局部最大/最小值, 如下圖:

上圖找出 x=2, y=-2 的局部極小值.

很方便的函數繪圖工具.

標籤 canvas, function, graph, html5, intersect, mathematics

數學

數學證明題-平方和

還記得高中有學過證明累加的公式算法嗎? 利用數學歸納法來證明公式是否正確的一個方法, 為了再次熟悉以前的數學, 整理一下數學歸納法的方式.

先來看看 wikipedia 上的定義吧: http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95

利用數學歸納法, 可以證明數學問題的公式, 例如我們要證明平方和這個公式為 n(n+1)(2n+1)/6 於是就利用如下的步驟:

當 n = 1 時, 1^2 = 1, 1 * (1+1) * (2 * 1 + 1) / 6 = 1 成立
假設 n = m 時, 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + m^2 = m(m+1)(2m+1)/6 成立
則 n = m+1 時, 應該就是 m(m+1)(2m+1)/6 + (m+1)^2 (也就是 2式 + (m+1)^2), 展開後得: (2m^3+9m^2+13m+6)/6
利用 n=m+1 的公式解得 (m+1)((m+1)+1)(2*(m+1)+1)/6 展開得: (m+1)(m+2)(2m+3)/6 = (2m^3+9m^2+13m+6)/6 和 3. 式結果相同
故得證.

不過用這種不是數學式的寫法看起來不是很舒服, 利用 google docs 的 “公式編輯器” 來寫應該更清楚, 如下:

證明平方和公式為:
$\sum_{i=1}^{n}{i^2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 1. 當 n = 1 時, $\sum_{i=1}^{1}{i^2} =\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6} = \frac{1\times2\times3}{6}=1$ 成立

2. 假設 n = m 時, $\sum_{i=1}^{m}{i^2} =\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ 成立

3. 則當 n = m + 1 時, $\sum_{i=1}^{m+1}{i^2} =\sum_{i=1}^{m}{i^2} + (m+1)^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + (m+1)^2 = \frac{(2m^3 +9m^2+13m+6)}{6}$ 4. 利用 n = m+1 的公式展開得:

$\sum_{i=1}^{m+1}{i^2} =\frac{(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)}{6}=\frac{(2m^3 +9m^2+13m+6)}{6}$

5. 3和4式結果相同, 故得證.

相信這個證明很清楚地證明了平方和的公式及驗證, 也是數學歸納法的證明方式, 是不是讓久未碰高中數學的各位, 喚起了一些些記憶呢?

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