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數學證明題-平方和

數學 2009/09/29 15:04
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還記得高中有學過證明累加的公式算法嗎? 利用數學歸納法來證明公式是否正確的一個方法, 為了再次熟悉以前的數學, 整理一下數學歸納法的方式.

先來看看 wikipedia 上的定義吧: http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95

利用數學歸納法, 可以證明數學問題的公式, 例如我們要證明平方和這個公式為 n(n+1)(2n+1)/6 於是就利用如下的步驟:

1. 當 n = 1 時, 1^2 = 1, 1 * (1+1) * (2 * 1 + 1) / 6 = 1 成立
2. 假設 n = m 時, 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + m^2 = m(m+1)(2m+1)/6 成立
3. 則 n = m+1 時, 應該就是 m(m+1)(2m+1)/6 + (m+1)^2 (也就是 2式 + (m+1)^2), 展開後得: (2m^3+9m^2+13m+6)/6
4. 利用 n=m+1 的公式解得 (m+1)((m+1)+1)(2*(m+1)+1)/6 展開得: (m+1)(m+2)(2m+3)/6 = (2m^3+9m^2+13m+6)/6 和 3. 式結果相同
5. 故得證.

不過用這種不是數學式的寫法看起來不是很舒服, 利用 google docs 的 "公式編輯器" 來寫應該更清楚, 如下:

證明平方和公式為:
\sum_{i=1}^{n}{i^2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

1. 當 n = 1 時, \sum_{i=1}^{1}{i^2} =\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6} = \frac{1\times2\times3}{6}=1 成立

2. 假設 n = m 時, \sum_{i=1}^{m}{i^2} =\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} 成立

3. 則當 n = m + 1 時, \sum_{i=1}^{m+1}{i^2} =\sum_{i=1}^{m}{i^2} + (m+1)^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + (m+1)^2 = \frac{(2m^3 +9m^2+13m+6)}{6}

4. 利用 n = m+1 的公式展開得: \sum_{i=1}^{m+1}{i^2} =\frac{(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)}{6}=\frac{(2m^3 +9m^2+13m+6)}{6}

5. 3和4式結果相同, 故得證.

相信這個證明很清楚地證明了平方和的公式及驗證, 也是數學歸納法的證明方式, 是不是讓久未碰高中數學的各位, 喚起了一些些記憶呢?
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